Se
enfocará la atención en cómo se preparan las tablas de propiedades y cómo
algunas propiedades desconocidas pueden determinarse a partir de datos
disponibles limitados.
No
será una sorpresa que propiedades como la temperatura, la presión, el volumen y
la masa puedan medirse directamente. Otras propiedades como la densidad y el
volumen específico se determinan de éstas mediante algunas relaciones simples.
Para
ello es esencial que desarrollemos algunas relaciones fundamentales entre
propiedades termodinámicas comunes y expresemos las propiedades que no son
factibles de medir de manera directa en términos de propiedades fáciles de
medir.
12-1 UN POCO DE MATEMÁTICAS: DERIVADAS
PARCIALES Y RELACIONES ASOCIADAS
Las
relaciones de Maxwell constituyen la base para muchas relaciones
termodinámicas. Además la ecuación de Clapeyron, permite determinar la entalpía
de vaporización a partir de las mediciones de P, v y T y
desarrolla las relaciones generales para cv, cp, du, dh
y ds, que son válidas para todas las sustancias puras bajo cualquier
tipo de condiciones.
PRINCIPIOS BÁSICOS SOBRE DERIVADAS PARCIALES
En este caso,
la función f depende de x más para valores de x mayores.
La inclinación de una curva en un punto se mide por medio de la pendiente de
una recta tangente a la curva en ese punto, y es equivalente a la derivada de
la función en dicho punto definida como
DIFERENCIA
DE PARCIALES:
Todas las demás
propiedades en ese estado pueden expresarse en términos de esas dos
propiedades. En términos matemáticos, esto es:
La variación de
z(x, y) con x cuando y se mantiene constante
se llama derivada parcial de z respecto a x, y se expresa
como:
*No se utiliza los moles (n) en la fórmula ya
que la constante R está dividida para el número de moles.
Esta
ecuación es la relación fundamental para la diferencial total de una
variable dependiente en términos de sus derivadas parciales respecto de
variables independientes. Esta relación puede expresarse fácilmente para
incluir más variables independientes. También se puede reescribir de la
siguiente manera:
ECUACIONES EXACTAS
Luego
de reescribir la ecuación, se obtuvo que
El orden de la
derivación no tiene importancia para las propiedades, dado que son funciones de
punto continuas y tienen derivadas exactas. Por consiguiente, las dos
relaciones anteriores son idénticas:
Ésta es una
relación importante para las derivadas parciales, y se emplea en cálculo para
probar si una diferencial dz es exacta o inexacta.
Nota: puesto que todas las propiedades
termodinámicas de una sustancia quedan determinadas por el estado en cuestión,
todas las propiedades tienen una diferencial total exacta.
EJERCICIO #1
Considere aire a 300K y 0.86 m3/kg. El estado
del aire cambia a 302K y 0.87 m3/kg como resultado de una perturbación. Estime
el cambio de presión del aire.
Datos: Tabla A1
à R del aire= 0.287 KJ/ kg K
Nota: La presión aumenta cuando la derivada parcial
está en función de la temperatura a volumen constante.
Nota: La presión disminuye cuando la derivada
parcial está en función del volumen a temperatura constante.
EJERCICIO #2
Considere aire a 300K y 1.3 m3/kg. Determine el
cambio en la presión correspondiente a un aumento de a) 1 por ciento en la
temperatura a volumen especifico constante. b) 1 por ciento tanto en la
temperatura constante y c) 1 por ciento tanto, en la temperatura como en el
volumen específico.
RELACIONES DE DERIVADAS PARCIALES
En algunas circunstancias es conveniente
relacionar a varias propiedades termodinámicas por ejemplo P = P(T,V) ; T =T(S,V)
Ejemplo
abstracto
La
primera relación recibe el nombre de relación de reciprocidad y muestra
que la inversa de una derivada parcial es igual a su recíproco. La segunda
relación se denomina relación cíclica y se usa con frecuencia en
termodinámica.
Otro ejemplo:
EJERCICIO #3
Usando la ecuación de estado P (V - a) = RT,
compruebe a) la relación cíclica y la relación de reciprocidad a V constante.
EJERCICIO #4
Deduzca una relación para la pendiente de la
línea V constante en un diagrama T=P para un gas que obedece la ecuación de
estado de Van de Waals
Resumen:
Link para ver en visio --> 12-1 Derivadas Parciales y Relaciones Asociadas
-
CENGEL,
YUNUS .A. & BOLES, MICHAEL A. (2011). Termodinámica. México: Mcgraw - Hill
Hola buenas la relacion ciclica de z=xy como seria?
ResponderBorrarHola, para aplicar la diferencia de parciales se desarrollo algunas relaciones fundamentales entre propiedades termodinámicas comunes para poder expresar las propiedades que no son factibles de medir de manera directa en términos de propiedades fáciles de medir.
ResponderBorrarEN DIFERENCIA DE PARCIALES:
Todas las demás propiedades en ese estado pueden expresarse en términos de dos propiedades. En términos matemáticos, esto es:
z=z(x,y)
z es la variable dependiente
x,y son las variables independientes
Es decir que La variación de Z con respecto a la variable X cuando la variable Y se mantiene constante, a esto se le llama derivada parcial de Z respecto a X.
Por ejemplo, la fórmula de los gases ideales
PV=nRT
PV=RT
La presion va a ser la variable dependiente = z = P
El volumen y la temperatura las variables independientes = (x,y) = V,T
Por lo tanto si expresamos:
P=RT/V
Si la diferencia parcial de la presión cuando la temperatura es constante, se expresaría:
(dP/dV)T = (Presion)dV
(dP/dV)T = (RT/V)dV
como la temperatura es constante, se deriva y queda:
(dP/dV)T = -RT/V^2
Vale, pero me podrias resolver z=xy en relacion ciclica!!
BorrarGracias! Porque no entiendo bien lo que quieres decir, porque me lo acabas explicando en lenguague matematico y yo lo que quiero es la operacion!
Gracias!